On the longest common increasing binary subsequence Sur la plus longue sous-suite binaire croissante et commune

نویسندگان

  • Christian Houdré
  • Jüri Lember
  • Heinrich Matzinger
چکیده

Let X1, X2, . . . and Y1, Y2, . . . be two independent sequences of iid Bernoulli random variables with parameter 1/2. Let LCIn be the length of the longest increasing sequence which is a subsequence of both finite sequences X1, . . . , Xn and Y1, . . . , Yn. We prove that, as n goes to infinity, n (LCIn − n/2) converges in law to a Brownian functional that we identify. Résumé SoientX1, X2, . . . et Y1, Y2, . . . deux suites mutuellement indépendantes de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, équidistribuées de paramètre 1/2. Soit LCIn la longueur de la plus longue sous-suite croissante et commune aux deux sous-suites finies X1, . . . , Xn and Y1, . . . , Yn. Nous démontrons que n(LCIn − n/2) converge en loi vers une fonctionnelle brownienne que nous identifions. Version française abrégée Dans cette Note, nous nous intéressons au problème de déterminer l’ordre des fluctuations de la longueur de la plus longue sous-suite croissante qui est aussi commune à deux suites binaires indépendantes. Notre résultat principal est le suivant: Théorème. Soient X1,X2, . . . ,Xn, . . . et Y1, Y2, . . . , Yn, . . . deux suites indépendantes de variables aléatoires de Bernoulli iid et de paramètre 1/2. Soit LCIn le maximum des entiers 1 ≤ k ≤ n tels qu’il existe 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n et 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jk ≤ n avec Xi1 ≤ Xi2 ≤ . . . ≤ Xik , Yj1 ≤ Yj2 ≤ . . . ≤ Yjk et Xis = Yjs pour tout s = 1, . . . , k. Alors LCIn − n/2 √ n =⇒ max t∈[0,1] [ min i=1,2 ( B(t)− 1 2 B(1) )] , où B1 = ( B1(t) ) t∈[0,1] et B 2 = ( B2(t) ) t∈[0,1] sont deux mouvements browniens standards indépendants. Les motivations et perspectives de notre travail sont à la fois les interactions profondes entre les problèmes de sous-suites et diverses branches des mathématiques comme la combinatoire algébrique, les matrices aléatoires, et les polynômes orthogonaux, mais aussi des considérations plus pratiques de bioinformatique. L’obtention de lois limites, souvent nouvelles, et dans le cadre d’ alphabets finis, de modèles markoviens, ... est en effet une première étape vers le développement de méthodes quantitatives, telles que des tests statistiques, utilisables en séquencage d’ADN.

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تاریخ انتشار 2006